最大公约数与最小公倍数到底怎么算

很多人对这两个概念的记忆停留在"老师教过、考完就忘"。但只要你还在算分数、排周期、调齿轮比,GCD 和 LCM 就会反复出现。这篇把它们的定义、求法和那条好用的等式一次讲透,顺便演示辗转相除法的每一步。

GCD 和 LCM 分别是什么

最大公约数(GCD,greatest common divisor)是能整除一组数里每个数、且没有余数的最大整数,看的是它们共有什么。最小公倍数(LCM,least common multiple)是每个数都能整除的最小正整数,看的是最小的公共倍数。

拿 12 和 18 来说:能同时整除两者的有 1、2、3、6,最大的是 6,所以 GCD = 6。能被两者同时整除的有 36、72、108……最小的是 36,所以 LCM = 36。一个往下找共同的约数,一个往上找共同的倍数,方向正好相反。

辗转相除法:不靠分解也能求 GCD

数字一大,把每个数都分解质因数就很费劲。欧几里得在两千多年前给出的辗转相除法,绕开了分解:反复用较大数除以较小数,把较大数换成余数,直到余数为 0,最后一个非零除数就是 GCD。

每一行写成 a = q×b + r:丢掉 a,保留 b,新余数 r 成为下一行的 b。以 60 和 48 为例:

60 = 1×48 + 12
48 = 4×12 + 0

余数到 0 了,最后一个非零除数是 12,所以 GCD(60, 48) = 12。整个过程只有两步,不需要知道 60 和 48 各自怎么分解。数越大,这种方法相对暴力试除的优势越明显。

一道完整的例子:12 和 18

把 12 和 18 走一遍辗转相除:

18 = 1×12 + 6
12 = 2×6 + 0

最后一个非零除数是 6,GCD(12, 18) = 6。

求 LCM 不必另起炉灶。对两个数有一条等式:GCD × LCM = 两数乘积。代进去:6 × LCM = 12 × 18 = 216,所以 LCM = 216 ÷ 6 = 36。和前面数出来的 36 完全一致。

这条等式的好处是,只要先用辗转相除法拿到 GCD,LCM 就能一步除出来,不用再去枚举倍数。实际计算时还应该先除后乘,也就是 LCM = a ÷ GCD × b,先把 12 ÷ 6 = 2 算出来再乘 18,中间值更小,大数也不容易算爆。

GCD × LCM = 两数乘积:为什么成立,什么时候失效

把两个数都写成质因数的形式就能看明白。12 = 2²×3,18 = 2×3²。GCD 取每个公共质因数的最低次幂:2¹×3¹ = 6。LCM 取所有质因数的最高次幂:2²×3² = 36。每个质因数的指数,在 GCD 里取最小、在 LCM 里取最大,两者相加正好等于这个质因数在两个数里的指数之和。所以 GCD × LCM 自然等于两数乘积。

但要小心:这条等式只对两个数成立。有人想推广到三个数写成 GCD × LCM = a×b×c,这是错的。以 4、6、8 为例,GCD = 2,LCM = 24,而 2 × 24 = 48,并不等于 4×6×8 = 192。三个数及以上,老老实实用质因数表,GCD 取各质因数最低次幂、LCM 取最高次幂,才靠得住。

约分和通分:这两个概念最常落地的地方

约分用 GCD。360/420 看着别扭,把分子分母同除以它们的 GCD 就清爽了。GCD(360, 420) = 60,于是 360/420 =(360÷60)/(420÷60)= 6/7,一步约到最简。

通分用 LCM。算 5/12 + 7/18 要先找公分母,最干净的选择是 12 和 18 的 LCM = 36,而不是偷懒直接乘出来的 12×18 = 216。于是 5/12 = 15/36、7/18 = 14/36,和为 29/36。用 LCM 当公分母,数字最小,结果往往已经接近最简,省去后面再约一次的功夫。

我自己的一点习惯

我以前算异分母分数加法,图省事就把两个分母直接相乘当公分母,结果分子分母都被撑大,最后还得再约一次,反而绕远。后来养成习惯:先求 GCD 把分数各自约到最简,再用 LCM 通分。一开始手算嫌麻烦,我就把数丢进最大公约数与最小公倍数计算器,它会把辗转相除的每一行、每个数的质因数分解都列出来,既出答案也出过程,核对作业时格外踏实。需要再做开方、指数这类运算时,我会顺手切到科学计算器接着算。

把 GCD 和 LCM 理解成"取最低次幂"和"取最高次幂"这一对操作,约分、通分、排周期这些场景就都串起来了,不再是孤立的公式。

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