多项式系数与多项式定理:把 n 个物品分成几组到底有多少种方法

我第一次真正用上多项式系数,是在帮表妹核对一道排列题。题目问 MISSISSIPPI 这个单词的字母能排出多少种不同的顺序,她直接写了 11!,得到三千九百多万。我当时一愣:同样的两个 S 互换位置,看着还是同一个单词,这显然多算了。后来才反应过来,正确答案要把重复字母先分组,再用多项式系数去除掉那些重复。这一篇就把这个东西讲清楚。

多项式系数到底在数什么

多项式系数回答的是一个很具体的问题:有 n 个互不相同的物品,要把它们分成几组,每组大小固定为 k1、k2、…、km,一共有多少种分法。它的公式是:

n! / (k1! · k2! · … · km!),其中 n = k1 + k2 + … + km。

这里的核心动作只有一个:n 的阶乘,除以各组大小阶乘的乘积。分子 n! 是把 n 个物品排成一列的所有顺序;分母里每个 ki! 负责消掉同一组内部顺序带来的重复,因为分到同一组的物品谁先谁后并不算新的分法。注意你不用单独填 n,把各组大小加起来就是 n。某一组大小填 0 也没关系,因为 0! = 1,给分母乘上一个 1,结果不变。

举个最小的例子:三个物品分成大小 2 和 1 的两组,n = 3,算式是 3! / (2!1!) = 6 / 2 = 3,确实只有三种分法。

它就是二项式系数的推广

很多人熟悉二项式系数 C(n, k),也就是从 n 个里选 k 个的组合数。其实它只是多项式系数最简单的情形:恰好两组,大小为 k 和 n−k。

C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!)

你看,这正是只有两个分母因子的多项式系数。比如填两个数 2 和 3,得到 5! / (2!3!) = 10,这就等于 C(5, 2)。所以多项式系数有时也被叫作广义二项式系数:二项式系数管两组,多项式系数管任意多组。想先把组合与排列的基础捋顺,可以配合组合排列计算器一起练,看到 C(n, k) 和多项式系数在同一个框架里。

用 MISSISSIPPI 走一遍完整计算

回到开头那道题。MISSISSIPPI 有 11 个字母,按出现次数分组:M 出现 1 次,I 出现 4 次,S 出现 4 次,P 出现 2 次。这四个数加起来正好是 11,也就是 n。不同排列数是:

11! / (1! · 4! · 4! · 2!) = 39916800 / (1 · 24 · 24 · 2) = 34650

所以真实答案是 34650,而不是 11! 给出的 39916800。两者相差 4! · 4! · 2! = 1152 倍,这个倍数恰好就是把四个 I、四个 S、两个 P 各自内部重排却看不出区别的那些重复。你只要在多项式系数计算器里填 1, 4, 4, 2,就能直接拿到 34650,工具用 BigInt 精确运算,即使遇到几十位的大数也每一位都对,不会像普通浮点那样过了 21! 就开始四舍五入。

这里最容易踩的坑,是把 n 本身也当成一个输入填进去。这个工具是把各组大小求和得到 n,所以你只填 1, 4, 4, 2 这四个字母个数,千万别再补一个 11,否则 n 会变成 22,答案完全没意义。

多项式定理:系数从哪里冒出来的

多项式系数的名字来自多项式定理。这个定理把一个和的幂展开:

(x1 + x2 + … + xm)^n = 各项之和,每一项是多项式系数乘以 x1^k1 · … · xm^km,求和范围跑遍所有满足 k1 + … + km = n 的非负整数组合。

换句话说,你算出来的多项式系数,就是展开式里某一项前面的那个数。比如想知道 (x + y + z)^4 展开后 x^2·y·z 这一项的系数,指数 2、1、1 就是各组大小,n = 2 + 1 + 1 = 4,系数是 4! / (2!1!1!) = 12。当 m = 2 时,这条定理就退回成熟悉的二项式定理,而二项式定理那张系数表正是杨辉三角,一层层往下都是 C(n, k)。

在概率和分牌里它同样好用

多项式系数不只是排字母。它是多项式分布概率公式里的计数因子。掷一颗骰子 6 次,问恰好出现两个 1、两个 2、两个 3,计数部分就是 6! / (2!2!2!) = 90,填 2, 2, 2 就能拿到这个 90,再乘上每种结果出现的概率,整道题就能放心手算到底。发牌也是同一回事:把 52 张牌发成四手各 13 张,是 52! / (13!)^4,一个 29 位的大数,填 13, 13, 13, 13 即可精确读出。

这里还有一个细节值得记住:多项式系数算的是分到有标记组的方案数。如果各组本身不可区分,比如三支大小相同又没编号的队伍,还要再除以同样大小组数的阶乘,才不会把同一种分法重复计。涉及大量阶乘乘除时,中间结果增长得很快,想随手核对单个阶乘的精确值,可以用阶乘计算器辅助一下。

把这几块串起来:分子的 n! 给全排列,分母的各组阶乘消掉组内重复,两组时它是二项式系数,多组时是多项式定理里某一项的系数,放进概率公式又成了计数因子。理解了这一条主线,排列、组合、概率里很多看似不同的题,其实都在数同一件事。

Made by Toolora · Updated 2026-06-13