等差数列怎么算:第 n 项、求和与公差全套解法

等差数列是最常被问到的数列,从初中作业到分期还款都绕不开它。它的特点只有一句话:从一项到下一项,加的永远是同一个数。这个固定的数叫公差,记作 d。只要抓住公差,第 n 项、前 n 项和、项数,这些问题都有现成的公式可套。

通项公式:第 n 项 an=a1+(n-1)d

求第 n 项靠的是通项公式:

an = a1 + (n-1)·d

a1 是首项,d 是公差,n 是你想要的项的位置。注意乘的是 n-1,不是 n,因为首项一次公差都还没加过。以 2、5、8、11 为例,首项是 2,公差是 3,第 10 项就是 2 + (10-1)·3 = 2 + 27 = 29。很多人在这里栽跟头,把 n-1 写成 n,结果整道题往后错一格。

前 n 项和:Sn=n(a1+an)/2

求和的公式有两种等价写法。知道末项时最简单:

Sn = n(a1 + an) / 2

它的来历很直观:把数列正着写一遍,再倒着写一遍,上下两两相加,每一对都等于 a1+an,一共有 n 对,再除以 2。著名的 1 加到 100 就是这么来的:100·(1+100)/2 = 5050。

如果还不知道末项,可以用只含 a1、d、n 的版本:

Sn = n(2·a1 + (n-1)·d) / 2

接着上面那个例子,首项 2、公差 3、第 10 项 29,前 10 项和就是 10·(2+29)/2 = 10·31/2 = 155。你可以把 2+5+8+11+14+17+20+23+26+29 老老实实加一遍,结果同样是 155,两条路对得上。

反向求解:求公差、求项数

数列题不总是顺着给条件。有时只给两项,让你反推规律。这时公差的求法是:

d = (后一项 - 前一项) / 相隔的步数

关键是数清楚步数,不是项号。第 1 项和第 4 项相隔的是 3 步,不是 4。比如首项是 2、第 4 项是 11,公差就是 (11-2)/3 = 3,数列还原成 2、5、8、11。

求项数则是把通项公式倒过来解 n:n = (an - a1)/d + 1。已知首项 3、公差 4,问 79 是第几项,代进去得 (79-3)/4 + 1 = 19 + 1 = 20,所以 79 是第 20 项。

我自己批改作业时最常见的两类错,一是把公差和等比数列的公比搞混,等差是一直加、等比是一直乘,套错公式答案就离谱;二是反解时把项号当成步数。遇到拿不准的,我会直接打开 等差数列计算器,把 a、d、n 填进去,第 n 项和前 n 项和当场出来,还会列出每一项,一眼就能看出哪一步偏了。

两个真实场景

第一个是数学作业。一张卷子要求 3、7、11、… 的第 20 项和前 20 项和。读出首项 3、公差 4,第 20 项是 3 + 19·4 = 79,前 20 项和是 20·(3+79)/2 = 820。把这两个数和自己手算的对照,off-by-one 的毛病无所遁形。

第二个是分期还款和存钱计划。等额本金还款里,每期本金固定,利息按剩余本金递减,每期还款额正好是一条递减的等差数列。再比如一个存钱计划:第一个月存 100,之后每月多存 25,这就是首项 100、公差 25 的等差数列。想知道第 24 个月存多少,用通项算 100 + 23·25 = 675;想知道两年一共存下多少,用求和算 24·(100+675)/2 = 9300。

等差和等比别弄混

等差数列每步加一个固定的 d,图像是一条直线;等比数列每步乘一个固定的公比 r,会越涨越快或越掉越快。逐级加薪、按月递增的存款是等差,复利和人口增长才是等比。判断时先问一句:相邻两项之间是在加还是在乘?如果你正好要算后者,可以换用 等比数列计算器,公式和这里完全不同。

小结

记住三件事就够了:通项 an=a1+(n-1)d 管求第 n 项,求和 Sn=n(a1+an)/2 管累计,公差 d 是从一项跨到下一项加的那个固定数。把这三者理顺,无论是核对作业还是算分期,等差数列都不再是难关。

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