万有引力怎么算:从 F=Gm1m2/r² 到苹果与月球

牛顿在 1687 年写下了一条至今没被推翻的规律:任何两个有质量的物体之间都有相互吸引的力,大小由质量和距离决定。这条规律就是万有引力定律,公式是 F = G·m1·m2 / r²。看起来简单,但真正动手算的时候,很多人会在单位、平方、距离从哪里量这几件事上栽跟头。这篇文章把每一项掰开讲清楚,并带一个可以手算核对的真实例子。

公式里每个符号是什么

F = G·m1·m2 / r² 一共五个量。F 是引力,单位牛顿(N);m1 和 m2 是两个物体的质量,单位千克;r 是两者质心之间的距离,单位米;G 是引力常数。把质量相乘、再除以距离的平方、最后乘上 G,就得到引力。

这里要强调一句:r 是两个质心之间的距离,不是两个表面之间的间隙。一个站在地球上的人,r 是地球半径,约 6.37e6 米,而不是他离地面的身高。这一点在算行星类题目时一旦搞错,结果会差出好几个数量级。

引力常数 G 到底多小

G 的数值是 6.674e-11 牛·米²/千克²(CODATA 值 6.674 30e-11)。它是物理学里最小的常数之一。小到什么程度?当 m1 = m2 = 1 千克、r = 1 米时,引力恰好等于 G,也就是大约 0.000 000 000 066 7 牛。这就是为什么日常物体之间的引力你完全感觉不到,要到行星那种质量级别,引力才变得明显。

苹果落地和星系运转,背后是同一个 G 在起作用。这一点正是牛顿当年最了不起的洞见:天上和地上遵守同一套规律。

距离平方反比:翻倍为什么变四分之一

公式里 r² 在分母上,所以引力遵守距离平方反比定律。距离翻倍,引力除以 2² = 4,变成四分之一;距离变三倍,引力降到九分之一。

这条规律解释了很多现象。轨道半径加倍的卫星,受到的引力只剩原来的四分之一;太阳对海王星的束缚远弱于对水星,因为海王星离得远得多。如果你想亲眼看到,可以在万有引力计算器里用同样的质量分别填 r 和 2r,引力会精确地变成四分之一,不多不少。

一个可以手算核对的例子

我自己第一次用这个公式,是给学生演示日常引力有多弱。两个 70 千克的成年人,相距 1 米,引力是多少?

代进公式:F = 6.674e-11 × 70 × 70 / 1² = 6.674e-11 × 4900 ≈ 3.3e-7 牛。

3.3e-7 牛大概相当于一粒细沙的重量。它真实存在,但比把鞋底固定在地面的摩擦力还小约一亿倍,所以你从来不会感到被旁边的人吸过去。我把这道题的网址分享给全班,每个人打开的都是同一道题,然后把 r 改成 2 米,当场看引力掉到四分之一,比口头讲距离平方反比直观得多。

为什么苹果落地,月球却不掉下来

很多人小时候有个困惑:既然月球也受地球引力,为什么它不像苹果一样掉下来?

答案不是月球没受引力,而是它一边被拉、一边在横向高速运动。月球确实在不停地往地球方向「掉」,但它同时以每秒约 1 千米的速度横着飞,掉下去的那一点高度刚好被地球表面的弯曲抵消,于是它绕着地球一圈圈转,永远落不到地面。苹果没有这个横向速度,所以直接落地。

把月球拉在轨道上的引力大约是 1.98e20 牛,而两个人之间的引力只有 3.3e-7 牛,真实引力的跨度极大,这也是为什么计算结果几乎都要用科学计数法表示。算这类天体题时,引力里还藏着动能,如果你想顺带估算轨道速度对应的能量,可以配合动能计算器一起用。

算的时候最容易踩的坑

距离只平方了一半。分母是 r²,不是 r。漏掉平方,引力会多算 r 倍,对天文距离就是差好几个数量级。
单位不统一到 SI。G 是按千克、米、牛顿定义的,把克或千米直接塞进公式,结果会差 1000 倍甚至一百万倍。
距离从表面量。r 是质心到质心的距离,地球上的人应该用地球半径,而不是离地高度。

把这三点记牢,再加一个能列出每步公式的工具帮你核对,万有引力就不再是会绕晕人的题目,而是一条又简洁又通用的规律。

Made by Toolora · Updated 2026-06-13