透镜成像公式 1/f=1/do+1/di 完全指南:焦距物距像距与放大率怎么算

不管是物理作业里的会聚透镜,还是手里相机镜头的对焦,背后都是同一条薄透镜成像公式在起作用。很多人记得有这么个公式,真要算的时候却卡在倒数运算和符号约定上。这篇文章把这条公式拆开讲清楚,焦距、物距、像距三者怎么联动,放大率的正负代表什么,凸透镜和凹透镜差在哪里,实像和虚像怎么一眼分辨。

这条公式到底在说什么

薄透镜成像公式写作 1/f = 1/do + 1/di。这里 f 是焦距,do 是物距,也就是物体到透镜的距离,di 是像距,也就是像到透镜的距离。三个量靠倒数绑在一起,只要知道其中两个,第三个就被锁死了。

之所以用倒数而不是直接相加,是因为光线汇聚的能力是按"会聚度"叠加的,会聚度恰好和距离成反比。理解这一点,你就不会再把公式记成 f = do + di 这种常见的错版。

举个具体的。一块会聚的凸透镜,焦距 f = 10 厘米,把一个物体放在 do = 30 厘米处,问像成在哪里。

把数代进去:1/di = 1/f 减去 1/do = 1/10 减去 1/30。通分得到 3/30 减 1/30 等于 2/30,也就是 1/15,所以 di = 15 厘米。像成在透镜另一侧 15 厘米的地方,是个能用屏幕接住的实像。这就是投影仪打出画面的原理。

这种倒数通分手算一遍要花点时间,还容易在符号上翻车。我自己批改光学作业时养成的习惯是:先用透镜成像公式计算器把答案算出来当标准答案,再去看学生哪一步通分错了。焦距、物距、像距任填两个留空第三个,它顺手就把放大率和实像虚像的判断也给出来了。

光知道像在哪还不够,还得知道像是放大还是缩小、正立还是倒立。横向放大率的公式是 m = -di/do。

它的读法分两层。符号决定正倒:m 为负是倒立,m 为正是正立。数值的绝对值决定大小:绝对值大于 1 是放大,小于 1 是缩小。

还用上面那个例子,di = 15、do = 30,代入得 m = -15/30 = -0.5。负号说明像倒立,0.5 说明像高只有物体的一半。如果物体高 4 厘米,像就是 4 乘 0.5 等于 2 厘米的倒立像。一个数同时把方向和尺寸都说清楚了。

这是最容易出错的地方。常用的约定是"实像为正":会聚的凸透镜焦距取正,发散的凹透镜焦距取负。

凸透镜会把光线聚到一起,物体放在焦距以外时成实像、倒立;放到焦距以内时成虚像、正立放大,这就是放大镜。凹透镜不一样,它永远把光发散,无论物体放哪儿,成的都是正立、缩小的虚像。

比如同一个物体放在 20 厘米处,凸透镜 f = 10 厘米时得到实像倒立,而凹透镜 f = -10 厘米时,像距约为 -6.67 厘米,放大率约 0.33,是个正立缩小的虚像。把焦距写成 f = 10 而漏掉凹透镜的负号,整个结论就全反了。

判断成的是实像还是虚像,不用记一堆口诀,直接看像距 di 的正负。

像距为正,像成在透镜另一侧,是实像,能用屏幕接收。投影仪、照相机底片上的像都是这一类。像距为负,像和物体在同一侧,只是看起来在那儿,是虚像,屏幕上接不到。透过放大镜看到的放大正立的字,就是负像距对应的虚像。

所以当计算器给你一个负的像距时,那不是出错,而是在告诉你"这是虚像"。把符号当信息读,而不是当 bug,是用好这条公式的关键一步。

还有一个值得记住的特殊点。当 do 正好等于 f,光线出射后互相平行,只在无穷远处相交,这时没有有限的像距,公式会出现除以零。靠谱的算法应该识别这种情况,直接告诉你"像在无穷远",而不是吐出一个没意义的数字。准直器就是利用这个性质把光变成平行光的。

理解了这条公式,你看待镜头的方式也会变。摄影里景深、对焦距离的计算,本质上都是物距像距关系的延伸。想把光学成像和实拍参数连起来,可以接着看景深计算器,它把光圈、焦距、对焦距离换算成清晰范围,和这里的成像公式正好是一前一后两层。

把 1/f = 1/do + 1/di 真正吃透,作业里的实像虚像题、相机镜头的对焦逻辑、眼镜配光的正负度数,其实都是同一套规则在不同场景里的样子。

Made by Toolora · Updated 2026-06-13