不定积分分步骤计算器, 符号积分 (非数值近似), 含换元法 + 分部积分法 + 部分分式 全过程展示, 同屏画 f(x) 与原函数 F(x)。
- 本地处理
- 分类 计算度量
- 适合 买东西、做计划、训练或排期前,先算出大概范围。
变量用 x. 运算符: + − * / ^. 函数: sin cos tan asin acos atan sinh cosh exp ln sqrt abs. 常数: pi e. 不支持隐式乘法 —— 请写 2*x, 不要写 2x.
- 换元法#1
换元: 设 u = x^2, du = 2 * x dx, 原积分化为 ∫ cos(u_sub) du = sin(u_sub), 回代 u 得 sin(x^2)
∫ 2 * x * cos(x^2) dx = sin(x^2)
这个工具能做什么
真符号不定积分计算器, 是反求导, 不是辛普森法则数值积分。 把表达式写进来, 像 2*x*cos(x^2), 1/(x^2+1), x*exp(x), sin(x)*cos(x), 1/(x^2-4) 这类, 页面返回原函数 F(x), 并把每一 层用的规则讲清楚: 幂法则, 一般换元 (检测到 f(g(x))·g'(x) 的 结构就自动设 u=g(x)), LIATE 优先级的分部积分 (对数 > 反三角 > 多项式 > 三角 > 指数), 部分分式 (1/(x²−a²) 那一类), 线性 换元 (f(ax+b) → F(ax+b)/a), 反三角表 (1/(1+x²) → arctan, 1/√(1−x²) → arcsin)。步骤用人话写: "设 u = x², du = 2x dx, 原积分化为 ∫ cos(u) du = sin(u), 回代 u → sin(x²)"。定积分 面板输入 a、b 直接算 F(b) − F(a)。SVG 同屏画 f(x) 和 F(x), 面积关系一眼能看见。答案算完会再求一遍导, 在采样点上跟 f(x) 对比, 不一致就警告, 不装作没事。最关键一条: 不是所有积分 都有初等表达 (∫ e^(−x²) dx 是高斯积分, ∫ sin(x)/x dx 是正弦 积分函数 Si, ∫ 1/ln(x) dx 是对数积分 li, 全部没初等解, 这是 Liouville 1835 年证过的定理), 遇到这种情况页面会老实说"无法 用初等函数表达", 绝不编一个看起来对实际错的答案给你。表达式 解析、积分器、化简器、SVG 渲染全部在浏览器标签里从零写, 不引数学库, 不发请求, 输入不会离开页面。
工具细节
- 输入
- 文本 + 数值
- 页面会根据工具类型展示文本框、数值控件、文件选择或结构化输入。
- 输出
- 即时结果 + 复制 + 预览
- 结果区优先给出可操作结果，支持项会显示复制、下载或可视化预览。
- 隐私
- 浏览器本地处理
- 主工具逻辑未发现外部 API 调用，输入通常留在当前标签页内处理。
- 保存 / 分享
- 免账号使用
- 打开页面即可使用；刷新后是否保留结果取决于具体工具。
- 性能预算
- 首屏 JS ≤ 38 KB
- 没有声明 WASM 依赖，适合快速打开和移动端使用。
- 适用场景
- 计算度量 · 学生
- 分类和职业标签用于推荐相关工具、组织内链，并帮助用户快速判断是否适合当前任务。
怎么用
-
1. 输入
把内容粘贴或拖入工具面板。
-
2. 处理
点击按钮,在浏览器内本地处理,文件不上传。
-
3. 复制 / 下载
一键复制结果或下载到本地。
不定积分分步骤计算器 适合怎么用
适合快速估算、对比和规划数字,帮你在做最终决定前先有底。
适合计算任务
- 买东西、做计划、训练或排期前,先算出大概范围。
- 一次只改一个输入,对比不同方案。
- 把模糊假设变成能讨论的数字。
计算检查项
- 认真核对单位、日期、比例和取整方式。
- 健康、金融、税务、法律相关结果只能做规划参考,不能替代专业意见。
- 重要结果要保存输入条件,方便以后复算。
下一步可以接着做
这些入口会把当前任务接到更完整的工具链里。
真实使用场景
交作业前对一遍换元法的答案
课本写 ∫ 2x·cos(x²) dx = sin(x²) + C, 你算出来了但说不清 为什么要设 u = x²。把 2*x * cos(x^2) 输入计算器, 步骤栏 会写"设 u = x², du = 2x dx, 原积分化为 ∫ cos(u) du = sin(u), 回代 u → sin(x²)"。你能看见机制: 前面那个 2x 恰好就是 du 长的样子, 这一换元把难题变成了"sin u 一眼 积出来"。两分钟把这个套路吃透, 下次小测见到类似题不会 再卡壳。
练 x·exp(x) 这种分部积分经典题
分部积分入门必练题。把 x * exp(x) 输入, 步骤栏会按 LIATE 选: "u = x (代数), dv = exp(x) dx, 所以 du = dx, v = exp(x), 再套 u·v − ∫v du = x·exp(x) − ∫exp(x) dx = x·exp(x) − exp(x)"。每一步都能直接抄到草稿本上对一遍。 底下的"已验证"标记会确认: 对 x·exp(x) − exp(x) 求导确实 等于 x·exp(x), 答案不是"形状对"而是"真的对"。
把部分分式积分这一类彻底吃透
1/(x²−4) 是教材里部分分式法的入门题。输入 1 / (x^2 - 4), 页面识别出 (x²−a²) 结构, 写出 1/((x−2)(x+2)) = (1/4) (1/(x−2) − 1/(x+2)), 逐项积分给出 (1/4) · ln|(x−2)/ (x+2)| + C。能看见 a = 2 为什么重要、系数为什么是 1/(2a), 两个 log 项是怎么合并成一个比的绝对值里去的。下面那张图 x = ±2 处的竖向渐近线一眼可见, 视觉上把"为什么积分必须 分两段处理"也讲清楚了。
一键求定积分值, 不用再抄一遍 F(x) 到另一个计算器里
F(x) 算出来以后, 定积分面板让你填 a 和 b, 比如填 0 和 pi, 页面立刻算出 F(pi) − F(0)。∫₀^π sin(x) dx = 2 这种已知 答案的题对一下能验证 F(x); 不熟的题可以拿 Wolfram 或自 己的 CAS 二次校对。省下"把 F(x) 再抄到另一个计算器里" 的工夫, 也避开了抄错符号这种最丢分的错误。
见到"没有初等表达"的诚实提示, 顺便学一条数学史
输入 exp(-x^2), 页面会出橙色提示: "无法求出该积分: 部分 积分确实没有初等表达式 (如 ∫ exp(−x²) dx), 这种情况建议 手算换元或对定积分用数值方法。" 这不是 bug, 是 Liouville 1835 年证明的定理: 高斯积分的原函数在初等函数范围里根本 不存在, 数学界为它专门定义了 erf 函数。这种失败被诚实地 摆出来, 比给你编一个错答案有教育意义得多, 也是认清符号 积分能力边界的最直接方式。
常见踩坑
不是所有积分都有初等表达。∫ e^(−x²) dx, ∫ sin(x)/x dx, ∫ 1/ln(x) dx, ∫ e^x/x dx, ∫ √(1+x³) dx,Liouville 1835 年的定理证明这些原函数在初等函数范围里不存在。计算器遇到这种题会老实承认, 不会硬编一个答案; 看到失败提示不要以为是自己输错了。
写成隐式乘法。"2x" 和 "sin x" 解析不出来, 必须写成 2*x 和 sin(x)。报错信息会指出解析器停在第几个字符, 不用自己一字一字找。
忘了写 + C。页面会在答案旁边显示"+ C"作为提醒。不定积分本质是一族相差一个常数的函数, 漏写 + C 即使原函数算对了也要扣分。定积分不用加, 因为 F(b) − F(a) 时常数会抵消。
把积分常数和被积函数里的常数搞混。∫ 5 dx = 5x + C (5 是 x 的系数), 不是 5 + C。计算器处理这个是对的, 但这是开学第二节课最常出现的错误。
隐私说明
你输入的表达式、解析出来的抽象语法树、求出的原函数、自检用的 符号求导对照、定积分的数值结果、画图用到的每一个采样点, 全部 在你的浏览器标签页里算, 不上传, 不记日志, 不做统计, 也不写 localStorage。打开页面以后断网, 飞行模式的手机、没有网络的 课堂电脑都能照常用。刷新一下页面, 历史归零, 没有任何痕迹 留下来。
常见问题
类似工具组合
做你这行的人, 还会一起用这些。