一元二次求根公式
Quadratic Formula
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a例: 2x² − 4x − 6 = 0 → x = (4 ± √(16 + 48))/4 = 3 or −1
当 a ≠ 0 时方程 ax² + bx + c = 0 的两根。
数学公式速查:代数、几何、三角、微积分、统计学,一站全收录。
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共 208 / 208 条公式
代数 (44)
判别式
Discriminant
Δ = b² − 4ac例: For x² + 2x + 5 = 0: Δ = 4 − 20 = −16 (no real roots)
Δ > 0 两实根;Δ = 0 一重根;Δ < 0 两共轭复根。
韦达定理
Vieta's Formulas
x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/aax² + bx + c = 0 两根之和与之积。
平方差公式
Difference of Squares
a² − b² = (a + b)(a − b)例: x² − 9 = (x + 3)(x − 3)
两数平方差等于其和与差的乘积。
完全平方和
Perfect Square (sum)
(a + b)² = a² + 2ab + b²例: (x + 3)² = x² + 6x + 9
两数和的平方展开。
完全平方差
Perfect Square (difference)
(a − b)² = a² − 2ab + b²例: (x − 5)² = x² − 10x + 25
两数差的平方展开。
完全立方和
Cube (sum)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³两数和的立方展开。
完全立方差
Cube (difference)
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³两数差的立方展开。
立方和公式
Sum of Cubes
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)两数立方和的因式分解。
立方差公式
Difference of Cubes
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)两数立方差的因式分解。
二项式定理
Binomial Theorem
(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0..n例: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
用二项式系数 C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) 展开 (a + b)ⁿ。
等差数列通项
Arithmetic Sequence (nth term)
aₙ = a₁ + (n − 1)d例: 1, 4, 7, 10, … → a₁₀ = 1 + 9·3 = 28
首项 a₁、公差 d 的等差数列第 n 项。
等差数列求和
Arithmetic Series Sum
Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 = n·a₁ + n(n−1)d/2例: 1 + 2 + … + 100 = 100·101/2 = 5050
等差数列前 n 项和。
等比数列通项
Geometric Sequence (nth term)
aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹例: 3, 6, 12, 24, … → a₅ = 3·2⁴ = 48
首项 a₁、公比 q 的等比数列第 n 项。
等比数列求和
Geometric Series Sum
Sₙ = a₁(1 − qⁿ) / (1 − q), q ≠ 1q ≠ 1 时等比数列前 n 项和。
无穷等比级数
Infinite Geometric Series
S = a₁ / (1 − q), |q| < 1当 |q| < 1 时无穷等比级数收敛。
对数乘法
Logarithm Product Rule
logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y乘积的对数等于对数之和。
对数除法
Logarithm Quotient Rule
logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y商的对数等于对数之差。
对数幂运算
Logarithm Power Rule
logₐ(xⁿ) = n · logₐ x幂的对数等于指数乘以对数。
换底公式
Change of Base
logₐ b = logc b / logc a例: log₂ 10 = ln 10 / ln 2 ≈ 3.32
在任意底 c 之间换算对数。
同底数幂相乘
Exponent Sum Rule
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ同底数幂相乘,指数相加。
绝对值三角不等式
Triangle Inequality (abs)
|a + b| ≤ |a| + |b|和的绝对值不超过绝对值之和。
配方法
Completing the Square
ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + c − b²/4a例: x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 4
把二次式化成顶点式,便于求最值。
抛物线顶点
Parabola Vertex
x = −b/2a, y = c − b²/4ay = ax² + bx + c 的顶点坐标,对称轴为 x = −b/2a。
立方差展开校验
Cube of a Difference (factored)
a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)³因式分解时识别两数差立方的展开式。
平方和(复数因式)
Sum of Two Squares (complex factor)
a² + b² = (a + bi)(a − bi)在复数范围内平方和可因式分解,i² = −1。
同底数幂相除
Exponent Quotient Rule
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ同底数幂相除,指数相减。
幂的乘方
Power of a Power
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ幂的乘方,底数不变指数相乘。
积的乘方
Power of a Product
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ积的乘方等于各因数乘方的积。
负指数
Negative Exponent
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, a ≠ 0负指数表示对应正指数幂的倒数。
分数指数
Fractional Exponent
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ例: 8^(2/3) = (³√8)² = 4
分数指数把乘方与开方联系起来。
对数底数恒等
Log of Its Own Base
logₐ a = 1, logₐ 1 = 0每个对数都满足的两个边界值。
指对互逆
Log and Exp Are Inverses
a^(logₐ x) = x, logₐ(aˣ) = x同底的指数与对数互为逆运算。
前 n 个自然数之和
Sum 1 to n
1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2例: 1 + … + 10 = 10·11/2 = 55
前 n 个正整数之和的闭式。
前 n 个平方和
Sum of Squares 1 to n
1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6前 n 个平方数之和的闭式。
前 n 个立方和
Sum of Cubes 1 to n
1³ + 2³ + … + n³ = (n(n + 1) / 2)²前 n 个立方之和等于前 n 个自然数之和的平方。
均值不等式
AM-GM Inequality
(a + b) / 2 ≥ √(ab), a, b ≥ 0算术平均不小于几何平均,a = b 时取等。
柯西不等式(二元)
Cauchy-Schwarz (2 terms)
(a₁b₁ + a₂b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)基础不等式,向量成比例时取等。
复数模
Complex Number Modulus
|a + bi| = √(a² + b²)复数在平面上到原点的距离。
共轭复数之积
Complex Conjugate Product
(a + bi)(a − bi) = a² + b²复数与其共轭相乘得到实数。
虚数单位的幂
Powers of i
i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1虚数单位的幂以 4 为周期循环。
二阶行列式
2×2 Determinant
det[[a, b], [c, d]] = ad − bc二阶矩阵的行列式,为零表示矩阵不可逆。
二阶矩阵的逆
2×2 Matrix Inverse
[[a, b], [c, d]]⁻¹ = (1/(ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]当 ad − bc ≠ 0 时二阶矩阵的逆。
克拉默法则(二元)
Cramer's Rule (2 unknowns)
x = Dₓ / D, y = D_y / D (D = ad − bc)用行列式之比解二元一次方程组,D ≠ 0。
几何 (50)
三角形面积
Triangle Area
S = (1/2) · b · h例: b = 6, h = 4 → S = 12
底 × 高 ÷ 2。任意三角形通用。
海伦公式
Heron's Formula
S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2例: a=3,b=4,c=5 → s=6, S=√(6·3·2·1)=6
已知三边长求三角形面积。
勾股定理
Pythagorean Theorem
a² + b² = c²例: 3² + 4² = 5²
直角三角形,两直角边平方和等于斜边平方。
等边三角形面积
Equilateral Triangle Area
S = (√3 / 4) · a²边长为 a 的等边三角形面积。
矩形面积
Rectangle Area
S = length × width长 × 宽。
矩形周长
Rectangle Perimeter
P = 2(length + width)长加宽乘以 2。
正方形面积
Square Area
S = a²边长的平方。
平行四边形面积
Parallelogram Area
S = b · h底 × 对应的高。
梯形面积
Trapezoid Area
S = (a + b) · h / 2例: a=3, b=5, h=4 → S = 16
上底加下底乘高除以 2。
菱形面积
Rhombus Area
S = (d₁ · d₂) / 2两对角线乘积的一半。
圆面积
Circle Area
S = π · r²例: r = 5 → S = 25π ≈ 78.54
π 乘以半径的平方。
圆周长
Circle Circumference
C = 2π · r = π · d直径乘 π,或半径乘 2π。
扇形面积
Circular Sector Area
S = (1/2) · r² · θ (θ in radians)弧度制下,半径平方乘圆心角除以 2。
弧长
Arc Length
L = r · θ (θ in radians)弧度制下,半径乘圆心角。
椭圆面积
Ellipse Area
S = π · a · b半长轴 a 与半短轴 b 之积再乘 π。
立方体体积
Cube Volume
V = a³棱长的立方。
立方体表面积
Cube Surface Area
S = 6 · a²6 倍一个面的面积。
长方体体积
Cuboid Volume
V = length × width × height长 × 宽 × 高。
长方体表面积
Cuboid Surface Area
S = 2(lw + lh + wh)三对相同矩形面积之和的 2 倍。
圆柱体积
Cylinder Volume
V = π · r² · h例: r=3, h=10 → V = 90π ≈ 282.74
底面积乘高。
圆柱表面积
Cylinder Surface Area
S = 2π · r² + 2π · r · h两底面积加侧面积。
圆锥体积
Cone Volume
V = (1/3) · π · r² · h底面积乘高再除以 3。
圆锥表面积
Cone Surface Area
S = π · r² + π · r · ℓ, ℓ = √(r² + h²)底面积加侧面积;ℓ 为母线长。
球体积
Sphere Volume
V = (4/3) · π · r³例: r=3 → V = 36π ≈ 113.10
4/3 倍 π 乘以半径的立方。
球表面积
Sphere Surface Area
S = 4π · r²4 倍 π 乘以半径的平方。
两点距离公式(平面)
Distance Between Two Points (2D)
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)平面上两点间的欧几里得距离。
中点坐标公式
Midpoint Formula
M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)线段中点的坐标。
直线斜率
Slope of a Line
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)两点确定一条直线时的斜率。
三角形内角和
Triangle Angle Sum
A + B + C = 180°任意三角形三个内角之和为平角。
多边形内角和
Polygon Interior Angle Sum
Σ = (n − 2) · 180°例: Hexagon: (6 − 2)·180° = 720°
n 边凸多边形内角和。
多边形外角和
Polygon Exterior Angle Sum
Σ exterior = 360°任意凸多边形外角和恒为 360°。
正多边形面积
Regular Polygon Area
S = (1/2) · n · s · a (a = apothem)n 条边长为 s,a 为边心距(中心到边中点的距离)。
棱锥体积
Pyramid Volume
V = (1/3) · S_base · h底面积乘高再除以 3。
棱柱体积
Prism Volume
V = S_base · h直棱柱体积等于底面积乘高。
圆台体积
Conical Frustum Volume
V = (1/3) · π · h · (R² + R·r + r²)上下底半径分别为 r、R 的圆台体积。
球冠体积
Spherical Cap Volume
V = (π · h² / 3) · (3R − h)半径 R 的球上高为 h 的球冠体积。
圆环体体积
Torus Volume
V = 2π² · R · r²R 为中心到管心距离,r 为管半径。
圆环体表面积
Torus Surface Area
S = 4π² · R · r半径为 R 与 r 的环面表面积。
两点距离公式(空间)
Distance Between Points (3D)
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)空间中两点间的欧几里得距离。
点斜式
Point-Slope Form
y − y₁ = k(x − x₁)过点 (x₁, y₁)、斜率为 k 的直线方程。
斜截式
Slope-Intercept Form
y = kx + bk 为斜率,b 为纵截距。
点到直线距离
Point to Line Distance
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)点 (x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离。
圆的标准方程
Circle Equation
(x − a)² + (y − b)² = r²圆心 (a, b)、半径 r 的圆方程。
椭圆标准方程
Ellipse Equation
x²/a² + y²/b² = 1中心在原点、半轴为 a 与 b 的椭圆方程。
两直线垂直
Perpendicular Lines
k₁ · k₂ = −1两条非竖直线斜率之积为 −1 时互相垂直。
相似图形面积与体积比
Similar Figures (area & volume)
S₁/S₂ = k², V₁/V₂ = k³ (length ratio k)相似图形长度比为 k 时,面积比为 k²,体积比为 k³。
圆周角定理
Inscribed Angle Theorem
inscribed angle = (1/2) · central angle同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
弓形面积
Circular Segment Area
S = (1/2) · r² · (θ − sin θ) (θ in radians)弦与弧之间的面积,圆心角 θ 取弧度。
正六边形面积
Regular Hexagon Area
S = (3√3 / 2) · a²边长为 a 的正六边形面积。
正四面体体积
Regular Tetrahedron Volume
V = a³ / (6√2)棱长为 a 的正四面体体积。
三角 (41)
30° 三角函数值
sin/cos/tan of 30°
sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/330°(π/6)的标准值。
45° 三角函数值
sin/cos/tan of 45°
sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tan 45° = 145°(π/4)的标准值。
60° 三角函数值
sin/cos/tan of 60°
sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √360°(π/3)的标准值。
90° 三角函数值
sin/cos/tan of 90°
sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° = undefined90°(π/2)的标准值,tan 无定义。
平方关系
Pythagorean Identity
sin²θ + cos²θ = 1最基本的三角恒等式,对任意 θ 成立。
正切与正割关系
1 + tan² = sec²
1 + tan²θ = sec²θ由 sin²+cos²=1 两边除以 cos² 得到。
余切与余割关系
1 + cot² = csc²
1 + cot²θ = csc²θ由 sin²+cos²=1 两边除以 sin² 得到。
正切定义
tan as sin/cos
tan θ = sin θ / cos θ正切等于正弦除以余弦。
正弦定理
Law of Sines
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R三角形中各边与其对角正弦值之比相等,等于外接圆直径 2R。
余弦定理
Law of Cosines
c² = a² + b² − 2ab · cos C例: a=3, b=4, C=60° → c² = 9 + 16 − 12 = 13
勾股定理在任意三角形中的推广。
三角形面积(两边夹角)
Triangle Area (SAS)
S = (1/2) · a · b · sin C已知两边及其夹角求面积。
正弦和角公式
sin(α + β)
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β正弦的和角公式。
正弦差角公式
sin(α − β)
sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β正弦的差角公式。
余弦和角公式
cos(α + β)
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β余弦的和角公式。
余弦差角公式
cos(α − β)
cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β余弦的差角公式。
正切和角公式
tan(α + β)
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)正切的和角公式。
二倍角(正弦)
Double Angle (sin)
sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ正弦二倍角公式。
二倍角(余弦)
Double Angle (cos)
cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ余弦二倍角的三种等价写法。
二倍角(正切)
Double Angle (tan)
tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ)正切二倍角公式。
半角(正弦)
Half Angle (sin)
sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)正负号取决于 θ/2 所在象限。
半角(余弦)
Half Angle (cos)
cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)正负号取决于 θ/2 所在象限。
和差化积(正弦和)
Sum to Product (sin + sin)
sin α + sin β = 2 · sin((α+β)/2) · cos((α−β)/2)把两正弦相加转化为乘积。
积化和差(正弦×余弦)
Product to Sum (sin·cos)
sin α · cos β = (1/2)[sin(α+β) + sin(α−β)]把正弦与余弦的乘积转化为和。
角度与弧度互换
Degrees ↔ Radians
rad = deg · π / 180, deg = rad · 180 / π例: 90° = π/2 ≈ 1.5708 rad
角度与弧度的互相换算。
0° 三角函数值
sin/cos/tan of 0°
sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 00° 的标准值。
诱导(余角)公式
Cofunction Identities
sin(90° − θ) = cos θ, cos(90° − θ) = sin θ某角的函数值等于其余角的余函数值。
奇偶性
Even-Odd Identities
sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ, tan(−θ) = −tan θ正弦、正切为奇函数,余弦为偶函数。
正切差角公式
tan(α − β)
tan(α − β) = (tan α − tan β) / (1 + tan α · tan β)正切的差角公式。
和差化积(正弦差)
sin + sin (sum to product)
sin α − sin β = 2 · cos((α+β)/2) · sin((α−β)/2)把两正弦之差转化为乘积。
和差化积(余弦和)
cos + cos (sum to product)
cos α + cos β = 2 · cos((α+β)/2) · cos((α−β)/2)把两余弦相加转化为乘积。
和差化积(余弦差)
cos − cos (sum to product)
cos α − cos β = −2 · sin((α+β)/2) · sin((α−β)/2)把两余弦之差转化为乘积。
积化和差(余弦×余弦)
Product to Sum (cos·cos)
cos α · cos β = (1/2)[cos(α−β) + cos(α+β)]把两余弦的乘积转化为和。
积化和差(正弦×正弦)
Product to Sum (sin·sin)
sin α · sin β = (1/2)[cos(α−β) − cos(α+β)]把两正弦的乘积转化为差。
半角(正切)
Half Angle (tan)
tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)正切半角的两种等价形式。
降幂(正弦平方)
Power Reduction (sin²)
sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2把正弦平方降为一次,积分时常用。
降幂(余弦平方)
Power Reduction (cos²)
cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2把余弦平方降为一次。
倒数关系
Reciprocal Identities
csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ三个倒数三角函数的定义。
三倍角(正弦)
Triple Angle (sin)
sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³θ正弦三倍角公式。
三倍角(余弦)
Triple Angle (cos)
cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ余弦三倍角公式。
三角形面积(外接圆)
Triangle Area (circumradius)
S = abc / (4R)由三边与外接圆半径 R 求面积。
三角形面积(内切圆)
Triangle Area (inradius)
S = r · s, s = (a+b+c)/2面积等于内切圆半径 r 乘以半周长 s。
微积分 (39)
导数定义
Derivative Definition
f'(x) = lim (h→0) [f(x + h) − f(x)] / h导数的极限定义。
幂函数求导
Power Rule (derivative)
(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹例: (x³)' = 3x²
x 的 n 次方的导数。
常数求导
Derivative of a Constant
(c)' = 0常数的导数为零。
sin x 求导
Derivative of sin x
(sin x)' = cos x正弦的导数是余弦。
cos x 求导
Derivative of cos x
(cos x)' = −sin x余弦的导数是负正弦。
tan x 求导
Derivative of tan x
(tan x)' = sec²x = 1 / cos²x正切的导数。
eˣ 求导
Derivative of eˣ
(eˣ)' = eˣeˣ 的导数仍是 eˣ,这正是 e 的特殊之处。
aˣ 求导
Derivative of aˣ
(aˣ)' = aˣ · ln a一般指数函数的求导。
ln x 求导
Derivative of ln x
(ln x)' = 1 / x, x > 0自然对数的导数是其倒数。
logₐ x 求导
Derivative of logₐ x
(logₐ x)' = 1 / (x · ln a)一般对数函数的导数。
加法法则
Sum Rule
(f + g)' = f' + g'和的导数等于导数之和。
乘法法则
Product Rule
(f · g)' = f' · g + f · g'乘积的求导法则。
除法法则
Quotient Rule
(f / g)' = (f' · g − f · g') / g²商的求导法则。
链式法则
Chain Rule
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)例: (sin(x²))' = cos(x²) · 2x
复合函数的求导。
xⁿ 积分
Integral of xⁿ
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C, n ≠ −1例: ∫ x² dx = x³/3 + C
幂函数积分公式,记得加积分常数 C。
1/x 积分
Integral of 1/x
∫ (1/x) dx = ln|x| + C当幂指数为 −1 时的特殊情况。
eˣ 积分
Integral of eˣ
∫ eˣ dx = eˣ + Ceˣ 的原函数仍是 eˣ。
sin x 积分
Integral of sin x
∫ sin x dx = −cos x + C正弦的原函数。
cos x 积分
Integral of cos x
∫ cos x dx = sin x + C余弦的原函数。
分部积分
Integration by Parts
∫ u dv = u · v − ∫ v du例: ∫ x · eˣ dx, u = x, dv = eˣ dx → x·eˣ − eˣ + C
乘法求导法则的逆向,挑 u 与 dv 使新积分更易算。
换元积分
u-Substitution
∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du, u = g(x)换元后简化积分形式。
微积分基本定理
Fundamental Theorem of Calculus
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), F' = f把微分与积分联系起来的核心定理。
√x 求导
Derivative of √x
(√x)' = 1 / (2√x)根号 x 的导数。
1/x 求导
Derivative of 1/x
(1/x)' = −1 / x²1/x 的导数。
cot x 求导
Derivative of cot x
(cot x)' = −csc²x余切的导数。
sec x 求导
Derivative of sec x
(sec x)' = sec x · tan x正割的导数。
arcsin x 求导
Derivative of arcsin x
(arcsin x)' = 1 / √(1 − x²)反正弦的导数,|x| < 1。
arctan x 求导
Derivative of arctan x
(arctan x)' = 1 / (1 + x²)反正切的导数。
常数倍法则
Constant Multiple Rule
(c · f)' = c · f'常数因子可提到求导外。
sec²x 积分
Integral of sec²x
∫ sec²x dx = tan x + C正割平方的原函数。
1/(1+x²) 积分
Integral of 1/(1+x²)
∫ 1/(1 + x²) dx = arctan x + C给出反正切的标准积分。
1/√(1−x²) 积分
Integral of 1/√(1−x²)
∫ 1/√(1 − x²) dx = arcsin x + C给出反正弦的标准积分,|x| < 1。
ln x 积分
Integral of ln x
∫ ln x dx = x · ln x − x + C用分部积分得到。
隐函数求导
Implicit Differentiation
d/dx[y] = (dy/dx), apply chain rule to each y term两边对 x 求导,把 y 视为 x 的函数。
洛必达法则
L'Hopital's Rule
lim f/g = lim f'/g' (for 0/0 or ∞/∞)遇 0/0 或 ∞/∞ 时,改求导数之比的极限。
泰勒级数
Taylor Series
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ把光滑函数在 a 处展成幂级数。
eˣ 的麦克劳林级数
Maclaurin Series of eˣ
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …指数函数在 0 处的幂级数,对所有 x 成立。
曲线弧长
Arc Length of a Curve
L = ∫ₐᵇ √(1 + (f'(x))²) dxf 在 [a, b] 上图像的弧长。
旋转体体积(圆盘法)
Volume of Revolution (disk)
V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx把 y = f(x) 绕 x 轴在 [a, b] 上旋转的体积。
统计 (34)
算术平均值
Arithmetic Mean
x̄ = (Σ xᵢ) / n例: {2, 4, 6, 8} → x̄ = 20 / 4 = 5
所有数值之和除以个数。
中位数
Median
middle value of sorted data (avg of two middles if even count)例: {1, 3, 5, 7} → median = (3 + 5) / 2 = 4
排序后位于中间的值;偶数个时取中间两值平均。
众数
Mode
value(s) that occur most frequently出现次数最多的数值;可能多众数或无众数。
总体方差
Population Variance
σ² = (1/N) · Σ (xᵢ − μ)²总体方差是各值与均值 μ 的偏差平方的平均。
样本方差
Sample Variance
s² = (1/(n − 1)) · Σ (xᵢ − x̄)²从样本估总体时用 n − 1(贝塞尔校正)。
标准差
Standard Deviation
σ = √(σ²), s = √(s²)方差的平方根,与原数据单位相同。
极差
Range
R = max − min最大值减最小值。
协方差
Covariance
Cov(X, Y) = (1/n) · Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)衡量两变量共同变化方向;数值大小受单位影响。
皮尔逊相关系数
Pearson Correlation
r = Cov(X, Y) / (σx · σy)取值 [−1, 1],r = 1 完全正相关,r = −1 完全负相关。
标准分(Z)
Z-Score
z = (x − μ) / σ例: μ=70, σ=10, x=85 → z = 1.5
某个值偏离均值多少个标准差。
正态分布概率密度
Normal Distribution PDF
f(x) = (1 / (σ · √(2π))) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))经典钟形曲线,完全由 μ 与 σ 决定。
68-95-99.7 法则
68-95-99.7 Rule
P(|x − μ| ≤ k·σ) ≈ 68% (k=1), 95% (k=2), 99.7% (k=3)正态曲线 1/2/3 个标准差内的近似概率。
二项分布概率
Binomial Probability
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ例: Flip 10 fair coins, exactly 5 heads → C(10,5)·0.5¹⁰ ≈ 0.246
n 次独立试验中成功 k 次的概率,每次成功概率 p。
二项分布均值与方差
Binomial Mean & Variance
E(X) = n · p, Var(X) = n · p · (1 − p)二项随机变量的期望与方差。
排列数
Permutation
P(n, k) = n! / (n − k)!例: P(5, 2) = 5! / 3! = 20
从 n 个中取 k 个的有序排列数。
组合数
Combination
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)例: C(5, 2) = 10
从 n 个中取 k 个的无序组合数。
离散期望
Expected Value (discrete)
E(X) = Σ xᵢ · P(xᵢ)所有可能取值按概率加权平均。
贝叶斯定理
Bayes' Theorem
P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)在新证据下更新概率。
加权平均
Weighted Mean
x̄_w = Σ(wᵢ · xᵢ) / Σ wᵢ每个值带权重 wᵢ 的平均。
几何平均
Geometric Mean
G = (x₁ · x₂ · … · xₙ)^(1/n)各值乘积的 n 次方根,适合比率与增长因子。
调和平均
Harmonic Mean
H = n / Σ(1/xᵢ)倒数平均的倒数,常用于求平均速率。
四分位距
Interquartile Range
IQR = Q₃ − Q₁中间 50% 数据的离散范围。
变异系数
Coefficient of Variation
CV = σ / μ相对离散程度,可跨量纲比较波动。
均值标准误
Standard Error of the Mean
SE = σ / √n样本均值围绕真实均值的预期波动。
均值置信区间
Confidence Interval (mean)
x̄ ± z · (σ / √n)已知 σ 时,95% 置信对应 z ≈ 1.96。
泊松分布
Poisson Distribution
P(X = k) = λᵏ · e⁻λ / k!平均速率为 λ 时发生 k 次事件的概率。
几何分布
Geometric Distribution
P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ · p第 k 次试验首次成功的概率。
条件概率
Conditional Probability
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) > 0在 B 已发生条件下 A 的概率。
独立事件
Independent Events
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)独立事件的联合概率等于各自概率之积。
加法公式
Addition Rule
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)A 或 B 发生的概率,扣除重复计入部分。
对立事件
Complement Rule
P(Aᶜ) = 1 − P(A)A 不发生的概率。
平均绝对偏差
Mean Absolute Deviation
MAD = (1/n) · Σ |xᵢ − x̄|各值与均值绝对偏差的平均。
最小二乘斜率
Least Squares Slope
b = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)²一元线性回归最佳拟合直线的斜率。
决定系数 R²
Coefficient of Determination
R² = 1 − SS_res / SS_tot模型解释的 y 方差占比,取值 [0, 1]。
这个工具能做什么
免费交互式数学公式速查表,面向中学生、大学生与教师。100+ 条常用 公式按五大类整理:代数(一元二次求根、平方差、完全平方、立方和/ 立方差、等差数列、等比数列、二项式定理)、几何(三角形面积、圆 周长面积、球体积、圆柱、圆锥、立方体、长方体、梯形、椭圆)、 三角(sin/cos/tan 特殊值表、正弦定理、余弦定理、和差化积、 积化和差、二倍角公式)、微积分(求导基础、链式法则、积分基础、 分部积分、换元积分)、统计(平均值、方差、标准差、正态分布、 二项分布)。每条公式用干净的 Unicode 数学符号(∑ ∫ √ π ≤ ≥ ≠)显示,完全不依赖 KaTeX 或 MathJax,整个速查页 < 25 KB, 离线也能用。支持中英双语公式名同时搜索,也可按分类筛选,只 看自己当下要的那一类。每条都配中英双语简要说明 + 一个具体算 例,不是光给你一串符号。100% 浏览器本地;搜索词与浏览记录都 不离开标签页。配合"百分比计算器""单位换算"做快速数值运算。
工具细节
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- 适用场景
- 计算度量 · 学生
- 分类和职业标签用于推荐相关工具、组织内链，并帮助用户快速判断是否适合当前任务。
怎么用
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一键复制结果或下载到本地。
数学公式速查 适合怎么用
适合快速估算、对比和规划数字,帮你在做最终决定前先有底。
适合计算任务
- 买东西、做计划、训练或排期前,先算出大概范围。
- 一次只改一个输入,对比不同方案。
- 把模糊假设变成能讨论的数字。
计算检查项
- 认真核对单位、日期、比例和取整方式。
- 健康、金融、税务、法律相关结果只能做规划参考,不能替代专业意见。
- 重要结果要保存输入条件,方便以后复算。
下一步可以接着做
这些入口会把当前任务接到更完整的工具链里。
真实使用场景
微积分考试前一晚临时抱佛脚背三角恒等式
你忘了 sin(2θ) 到底是 2sinθcosθ 还是 sinθcosθ。筛到「三角」分类, 扫一眼二倍角区块,配的算例直接代入 θ = 30°,让你看到 2·(1/2)·(√3/2) = √3/2 算对。一屏十二条恒等式,比晚上十一点翻 课本快得多。
老师做一页能打印的几何速查卡
你想把三角形面积、圆面积、球体积、圆锥体积放进同一张讲义,发给 32 人的初三班。筛到「几何」,按 Ctrl+P 存成 PDF。没有深色背景、 没有自定义字体,学校打印机省墨,每条公式还带算例,照顾跟不上的 同学。
写作业写到一半核对记不全的一元二次求根公式
你写下 x = (-b ± √(b²-4ac))/2a,但卡在分母到底是 2a 还是 4a。 搜「一元二次」,确认判别式和 2a 分母,看那条 b²-4ac = 1 算出两个 整齐根的算例。三十秒,回去接着做题。
中英双语学生对照公式中英名
你在中文教材里学的是「余弦定理」,现在要考英文卷。中英任一名字 输进去两条都跳出来,你就能把 c² = a² + b² - 2ab·cosC 对到考卷用 的那个词。搜索一次同时覆盖两种语言,不用再开一个标签页查。
常见踩坑
余弦定理里把 sin 和 cos 弄反:角 C 对的是边 c,所以是 c² = a² + b² - 2ab·cosC,不是 cosA。先把角和它的对边配好再代。
一元二次求根丢掉 2a 分母写成 /a:b²-4ac = 9 时分母错会把 x 从 3 变成 6。整个分子要除以 2a 而不是 a。
把球体积 (4/3)πr³ 和表面积 4πr² 记混:r = 3 时体积是 36π,表面积刚好也是 36π,纯属巧合,所以下结论前先看单位(cm³ 还是 cm²)。
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全部在你的浏览器里跑。你输入的搜索词、筛选的分类、点开看的公式都不 离开标签页,不发任何服务器。这是一个静态速查页,没有账号,也不记录 你查了哪些公式,所以你这次复习的内容不会被记进日志,也不会写进 URL。 断网打开照样能用。
常见问题
类似工具组合
做你这行的人, 还会一起用这些。