概率分布可视化, 正态 / t / 卡方 / F / 二项 / 泊松 / 指数 / 均匀 八大分布的 PDF + CDF 图, 实时算 P(a≤X≤b) 阴影面积, 替代教材后面的 z/p 表。
- 本地处理
- 分类 计算度量
- 适合 买东西、做计划、训练或排期前,先算出大概范围。
选一个分布, 填好参数, 拖动 [a, b] 计算 P(a ≤ X ≤ b), 或用"逆 CDF"面板反查临界值。
这个工具能做什么
把统计入门、计量经济、数据分析课最常用的 8 个概率分布做成一个 可拖拽的可视化页面: 连续型有正态 N(μ, σ²)、学生 t(df)、卡方 χ²(df)、F(df₁, df₂)、指数 Exp(λ)、均匀 U(a, b); 离散型有二项 B(n, p)、泊松 Poi(λ)。每个分布的概率密度 / 质量函数都用纯 JavaScript 自己实现,Lanczos 近似算 log-Γ、正则不完全 gamma 算卡方与泊松的 CDF、正则不完全 beta 算 t / F / 二项的 CDF、 Abramowitz–Stegun 公式算正态的 erfc, 不查表也不调 API, 所以数值在常用参数范围内能与 R 的 pnorm / pt / pchisq / pf / pbinom / ppois 等函数对到小数点后 6 位以上。SVG 画布上一条 曲线 (或离散柱) 之外多了两个可拖动手柄, 拖出 [a, b] 区间, 实时算 P(a ≤ X ≤ b) 阴影面积, 同时给出该面积占全分布的百分比, 这就是"IQ 在 85 到 115 之间的人占多少"那种题目的可视化 解法 (≈ 68.27%, 也就是一个 σ)。另设一个"逆 CDF (分位数)" 面板, 输入概率反求临界值, 这正是替代课本后面 z / t / 卡方 / F 表的关键操作 (z₀.₀₂₅ = 1.95996、t₀.₀₂₅(15) = 2.13145、 χ²₀.₉₅(10) = 18.307 都能直接读出来)。摘要卡始终展示四阶矩 (均值 / 方差 / 偏度 / 超额峰度) 的解析公式结果, 不查表就能 对作业。预置了 6 个常见例子 (标准正态、IQ N(100, 15²)、抛 100 次硬币、客服等待时间、95% 置信区间、自由度 4 的卡方 拟合优度)。所有计算都在你的浏览器里跑, 参数、概率、什么 数据都不上传。
工具细节
- 输入
- 数值
- 页面会根据工具类型展示文本框、数值控件、文件选择或结构化输入。
- 输出
- 即时结果 + 复制 + 预览
- 结果区优先给出可操作结果，支持项会显示复制、下载或可视化预览。
- 隐私
- 浏览器本地处理
- 主工具逻辑未发现外部 API 调用，输入通常留在当前标签页内处理。
- 保存 / 分享
- 可分享链接状态
- 关键设置会进入 URL，复制链接后别人能复现同一组参数。
- 性能预算
- 首屏 JS ≤ 38 KB
- 没有声明 WASM 依赖，适合快速打开和移动端使用。
- 适用场景
- 计算度量 · 学生
- 分类和职业标签用于推荐相关工具、组织内链，并帮助用户快速判断是否适合当前任务。
怎么用
-
1. 输入
把内容粘贴或拖入工具面板。
-
2. 处理
点击按钮,在浏览器内本地处理,文件不上传。
-
3. 复制 / 下载
一键复制结果或下载到本地。
概率分布可视化 适合怎么用
适合快速估算、对比和规划数字,帮你在做最终决定前先有底。
适合计算任务
- 买东西、做计划、训练或排期前,先算出大概范围。
- 一次只改一个输入,对比不同方案。
- 把模糊假设变成能讨论的数字。
计算检查项
- 认真核对单位、日期、比例和取整方式。
- 健康、金融、税务、法律相关结果只能做规划参考,不能替代专业意见。
- 重要结果要保存输入条件,方便以后复算。
下一步可以接着做
这些入口会把当前任务接到更完整的工具链里。
真实使用场景
告别课本后面的 z 值表
作业要 z₀.₀₂₅ (双侧 95% 置信区间的上 2.5% 分位点)。选 "Normal", μ = 0、σ = 1, 打开"逆 CDF", 填 0.975 → 1.95996; 想要 99% 置信区间的 z₀.₀₀₅, 填 0.995 → 2.57583; 单侧 5% 检验的 z₀.₀₅, 填 0.95 → 1.64485。再也不用翻书附录, 一边 盯着表格小字一边核对四位小数。
一个 t 检验, 不查表直接出 p 值
配对 t 检验, n = 13 (df = 12), 算出 t = 2.40。选 "Student t", df = 12, x 填 2.40 → F(2.40) = 0.98316。单侧 p = 1 − 0.98316 = 0.01684; 双侧 p = 2 × 0.01684 = 0.03368。两个 都小于 0.05, 在 5% 水平拒绝原假设, 论文里直接写 p = 0.034 即可, 页面已经帮你保留到四位小数。
在 IQ 分布上把 68–95–99.7 法则拖出来
选 "Normal", μ = 100、σ = 15 (IQ 标准参数), 把 [a, b] 拖到 85 与 115, 阴影面积显示 0.6827, 这就是"68% 落在一个 σ 以内"。拖到 70 和 130 → 0.9545 ("95% 落在 2σ 以内"); 拖到 55 和 145 → 0.9973 ("99.7% 落在 3σ 以内")。学生从死记公式 变成亲手拖出来, 信心是不一样的。
抛 10 次硬币里 7 次正面"反常"吗?
选 "Binomial", n = 10、p = 0.5。柱状图峰值在 k = 5, 拖 [a, b] 到 [7, 10] → 阴影 P(X ≥ 7) = 0.1719, 约 1/6 的概 率。这个比例在公平硬币下完全不算反常 (要"统计显著证明 硬币有偏"得 p < 0.05), 学生不用再被告知"n=10 太小", 直接看图能看明白原因。
卡方拟合优度, alpha=0.05 的临界值是多少
算出 χ² = 11.2, 自由度 4。选 "Chi-squared", df = 4。"逆 CDF" 填 0.95 → 临界值 9.488; 你的统计量 11.2 > 9.488, 在 5% 水平拒绝原假设。再看 F(11.2) = 0.97565 → 右尾 p = 0.02435。整套拟合优度结论, 30 秒之内, 全程不查表。
指数分布, 90% 的顾客在多长时间内会到
咖啡店平均每小时来 30 个顾客, 到达间隔时间 ~Exp(λ = 30/小时) = Exp(0.5/分钟)。选 "Exponential", λ = 0.5, "逆 CDF" 填 0.9 → x ≈ 4.605 分钟, 说明下一个顾客的等待 90% 落在 4.6 分钟以内。再把 [a, b] 拖到 [0, 1], P(等待 < 1 分钟) ≈ 0.393, 也就是接近 40% 的到达是 1 分钟内的 连环, 这就是高峰期需要开第二台收银机的排队论根据。
常见踩坑
单尾 p 值和双尾 p 值搞反。对称分布 (z、t) 双侧 p = 2 × min(F(x), 1 − F(x)); 单侧右尾 p = 1 − F(x)。卡方 / F 的拟合优度 / 方差分析本身就是单侧右尾, 不要再乘 2。
把"95% 置信"和"95% 分位数"混为一谈。双侧 95% 置信区间用的是上 2.5% 分位点 (z₀.₀₂₅ = 1.96, 不是 z₀.₀₅ = 1.645)。如果你在"逆 CDF"里填 0.95 得到 1.645, 那是单侧 5% 的临界值; 双侧请填 0.975。
把离散分布的 P(X = k) 当成 CDF 来读。二项 / 泊松的 P(X = k) 是 PMF 在整数 k 处的柱高, 不是 F(k); F(k) = P(X ≤ k) 包含 k 左侧的全部。看不准就用顶部的 PDF / CDF 切换按钮换个视图。
在二项的正态近似适用范围以外强行用正态。经验门槛是 np ≥ 5 且 n(1 − p) ≥ 5, 低于这个界限近似在尾部明显偏离 (而你算 p 值刚好就关心尾部)。页面可以把二项 PMF 和正态曲线叠在一起, 让你看清差异再决定要不要近似。
隐私说明
八种分布的实现 (PDF / PMF、CDF、逆 CDF、四阶矩、区间面积) 全部在你的浏览器标签页里用 JavaScript 算。你填的参数、 拖动的 [a, b] 端点、在"逆 CDF"里填的概率, 都不会上传服务 器、不写日志、不写 localStorage。只有"当前选哪个分布 + 它 的参数"会同步到 URL, 方便老师把一道例题的链接发给学生 复现; 如果你介意 (一般不会), 用无痕窗口打开页面即可重置 到默认的标准正态。页面加载完之后断网也照常用。
常见问题
类似工具组合
做你这行的人, 还会一起用这些。